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有限要素法による電磁界計算入門

有限要素法による電磁界計算入門 05 静電場解析のテスト:電場の計算と分析

有限要素法による電場と磁場の計算に関するオンラインコースのこの5番目のセクションでは、前のセクションで説明したメッシュファイルを使用して電場の解析を行います。 開始するには、TriCompプログラムランチャーからEStatを実行します。 「1」のツールボタンをクリックし、メッシュファイル「COAXIALCYLINDERS.MOU」を選択します。 プログラムは、メッシュ内で定義された領域を調べ、図1のダイアログを表示します。示された値は、前の記事で解説した解析パラメータに沿った値です。 これらをフィールドに入力し、OKをクリックして、出力ファイル名「COAXIALCYLINDERS.EIN」を受け入れて保存します。

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図1. EStat入力スクリプトを作成するためのダイアログ。

ダイアログの動作を理解するには、「File / Edit script(EIN)」メニューコマンドを選択し、エディタでファイルをロードします。 以下に内容を示します:
 
* File: CoaxialCylinders.EIN
Mesh = CoaxialCylinders
Geometry = Rect
DUnit =   1.0000E+02
ResTarget =   5.0000E-08
MaxCycle =    5000
* Region 1: DIELECTRIC
Epsi(1) =   1.0000E+00
* Region 2: INNERELECTRODE
Potential(2) =   1.0000E+02
* Region 3: OUTERBOUNDARY
Potential(3) =   0.0000E+00
EndFile
 
設定値の多くについて、何が設定されているのか理解できると思います。 解の精度を制御するResTargetとMaxCycleのパラメータについては、EStatのマニュアルを参照してください。 この場合、デフォルト値で問題ありません。
 
エディタを終了し、 “2”ボタンをクリックします。 「COAXIALCYLINDERS.EIN」を選択すると、EStatは1秒未満で有限要素式を生成して解きます。 メッシュサイズが大きくなると時間がかかりますが、一般的に実用的な解の実行時間は1分未満です。 プログラムは、ファイル「COAXIALCYLINDERS.ELS」(エディタで見ることのできる診断リストファイル)と「COAXIALCYLINDERS.EOU」(各ノードのメッシュ座標と電位の値の記録)を作成します。
 
結果を確認するには、 “3”ボタンを押し、「COAXIALCYLINDERS.EOU」を選択します。 「ANALYSIS」(分析)メニューで興味深いプロットを生成することができます(図2)。 また、図に示すような移動可能なフィールドプローブのような便利なツールもあります。 ここでは、具体的な数字に注目してみましょう。 まず、一つの点における計算(ANALYSIS / Point calculation)で解の絶対精度をチェックしてみましょう。 半径r = 10.0 cmでは、前の記事の数式では次の値が得られます。
 
Er(r) = 910.23923 V/m
φ(r) = 36.90703 V
 
EStatの数値補間は、周囲のノードの電位値の参照が含まれます。 対称境界では、使用可能なノードが半分しかないので、精度は最適ではありません。良い比較をするためには境界より内側のポイントを使うべきです。 45゜の線上で、r = 10.0 cmの位置は x = y = 7.071068 cm に対応します。 ポイント計算ツールをクリックします。 計算領域内でマウスを動かし、左ボタンをクリックすることで位置を指定することができますが、この方法は、この比較には十分正確ではありません。 ポイント計算(Point calculation)ツールをクリックした後、F1キーを押して、座標を手動で入力します。 x、yの値を7.071068に設定し、[OK]をクリックします。 計算された数量が画面下部に表示されます(図2)。 電位(36.90767 V)および電場(910.23111 V/m)の計算値は理論値と千分の1パーセントの桁で一致しています。
 
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図2.ポテンシャルの塗りつぶし等高線図でとポイント計算の結果。
 
画面から数字をコピーするのではなく、EStatで数字を書き出してみましょう。 FILE / Open data record(データレコードを開く)コマンドをクリックし、デフォルトのファイル名のCOAXIALCYLINDERS.DATを受け入れます。 これで、インタラクティブな計算を行うたびに、結果がテキストファイルに記録されます。 たとえば、メニューコマンド「ANALYSIS / Volume integrals」(体積積分)を選択します。 結果のファイルは外部のテキストエディタで見ることができます。 EStat内部のエディタを使用するには、最初に「Close data record」(データレコードを閉じる)コマンドをクリックします(ファイルの2つのインスタンスを同じプログラムで開くことはできません)。 電界エネルギーの計算値(電界 エネルギー密度の体積積分)は次のとおりです。
 
Quantity: Energy
Global integral:   1.708936E-07
RegNo   Integral
==========================
1    1.708936E-07
2    9.881184E-37
 
 
内部電極(領域2)内の電界は数値的にゼロです。 誘電体(領域1)の電界エネルギーを使って長さあたりの静電容量を求めることができます。 計算では第1象限のみをカバーするので、100 V、Ue = 6.835744E-7 J/mでの同軸円筒の長さ当たりの電場エネルギーを求めるには、4倍する必要があります。 式 C = 2 * Ue / 100^2により、前のセクションで引用された理論値(c = 1.3567E-10 F/m)の0.8%以内の値c = 1.367149E-10 F/mが得られます。
 
要素のサイズの影響を理解するために、さまざまな要素サイズの選択肢について、いくつかの半径において精度を比較したいと思います。 しかしポイント計算ツールを実行し、各データの座標を入力する必要があり、手順が少々面倒です。 次回の記事では、この分析手順を自動化します。
 

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