例題：三電極系における相互容量

接地境界を持つ大きな空間内に配置された2つの球からなる系の相互容量を計算します。半径0.1 cmおよび0.3 cmの球は、中心間距離0.5 cmで配置されています。得られた値は、無限空間における解析解と比較されます。本計算では、①対称境界の利用、②容量決定のための電場エネルギー法、③有限要素法の結果を無限系へ外挿する手法、の3点を示しています。

計算時間を短縮するため、x-y平面の第1象限のみで計算を実施し、x = 0 および y = 0 におけるHiPhiの自然対称条件を利用しました。電場エネルギーの値は4.0倍して、全体の容量を算出しています。解においては、小さい球を領域1、大きい球を領域2、接地境界を領域0と定義しています。HiPhiマニュアル第12章で説明されている電場エネルギー法では、1.0 Vの電圧を用いて次の3つの解を求めます：①小球に印加、②大球に印加、③両方の球に印加。この計算により、全電場エネルギー U1、U2、U12 が得られます。マニュアルの導出に従うと、容量は以下のように与えられます：

C12 = U1 + U2 - U12
C10 = U1 - U2 + U12
C20 = -U1 + U2 + U12

ここで、C12 は球間の容量、C10 は小球と境界間の容量、C20 は大球と境界間の容量を表します。

一辺6.0 cmのボックス内での解では、理論値と比較して大きな差が見られました。この差が有限境界の影響によるものと仮定し、一辺12.0 cmのボックスで再計算を行いました。下図は、境界幅の逆数を横軸として、計算値と理論値をプロットしたものです。この場合、無限大はゼロに対応します。結果の外挿は直線に従い、理論値と良好に一致しています。

本例は、有限要素法による結果（有限な領域内での計算）を、無限空間を前提とした理想的な基準と比較するには工夫が必要であることを示しています。とはいえ、実際の問題で無限空間を扱うことは稀であり、複雑な電極形状や複数の誘電体を扱うには数値解析手法が不可欠です。比較を行うために、本ケースの形状はCOMSOLの例題に基づいています。